10. LORENCOVA TRANSFORMACIJA
 
   U traganju za objašnjenjem negativnog rezultata Majkelsonovog eksperimenta Lorenc je izveo čuvenu transformaciju koordinata koja predstavlja prethodnicu i fundamentum Specijalne teorije relativnosti, a koja je po njemu i dobila ime. Tom transformacijom daju se nove formule za koordinate i vreme koje važe za dva sistema, koji se međusobno kreću translatorno brzinom i bez ubrzanja. Te formule Lorenc je prvi put objavio 1904. godine u radu "Elektromagnetske pojave u sistemu koji se kreće ma kojom brzinom manjom od brzine svetlosti." Do istih formula došao je i Poenkare koristeći postavke teorije grupa.
   U daljem tekstu dato je izvođenje Lorencove transformacije kako ga je dao Ajnštajn u delu: "O Specijalnoj i Opštoj teoriji relativiteta" [6]. Ovo se čini zbog toga što je to važna materija na kojoj praktično počiva Specijalna teorija relativnosti.
   Citat: "Prosto izvođenje Lorencove transformacije
   Kod relativnog položaja koordinatnih sistema datih na slici 10.1 stalno se poklapaju -ose oba sistema. Ovde možemo taj problem da podelimo na taj način, što ćemo najpre posmatrati događaje koji su lokalizovani na -osi. Takav događaj je u odnosu na koordinatni sistem dat apscisom i vremenom , a u odnosu na sistem dat je apscisom i vremenom . Traže se i ako su dati i .

Slika 10.1

   Svetlosni signal koji se kreće duž pozitivne -ose rasprostire se po jednačini

(10.1)

   No kako isti svetlosni signal mora da se i u odnosu prema rasprostire brzinom , to se rasprostiranje prema može izraziti sličnom formulom

(10.2)

   Prostorno - vremenske tačke (događaja), koje zadovoljavaju jednačinu (10.1) isto tako moraju zadovoljiti i jednačinu (10.2). Ovo će biti svakako onda kada bude uopšte ispunjen odnos

(10.3)

gde je konstanta; jer prema (10.3) ako je nula onda mora biti i jednako nuli.
   Sasvim slično razmatranje primenjeno na svetlosne zrake, koji se rasprostiru duž negativne -ose daje sledeći uslov

(10.4)

   Kad saberemo, odnosno oduzmemo jednačine (10.3) i (10.4), pri čemu se umesto konstanti i radi jednostavnosti uvode konstante

dobijamo

(10.5)

   Time bi naš zadatak bio rešen kad bi konstante i bile poznate. Te konstante određujemo iz sledećih razmatranja.
   Za početnu tačku sistema stalno je = 0, dakle, prema prvoj od jednačina (10.5) je

[Ovo ne ide. Koordinate i su koordinate položaja svetlosnog zraka (talasa) na -osi i -osi koordinatnog sistema i respektivno, a što je izraženo jednačinama (10.1) i (10.2). Pri početnom stanju je = 0 i tada mora biti = 0, = 0 i = 0. Primedba M. P.]
   Označimo sa brzinu kojom se početna tačka sistema kreće u odnosu na , onda je

(10.6)

[I ovo ne ide. Jednačina (10.6) je dobijena iz prethodne uz uslov da je

što nije tačno jer je shodno jednačini (10.1) , a odatle , to jest nije . Primedba M. P.]
   Istu vrednost dobijamo iz jednačine (10.5) ako izračunamo u odnosu na brzinu druge tačke sistema , ili brzinu tačke sistema u odnosu na usmerenu u negativnom smeru -ose. Ukratko, dakle, možemo obeležiti kao relativnu brzinu oba sistema.
   Zatim je po principu relativiteta jasno, da dužina jedinice mernika koja miruje prema , merena u sistemu , mora biti potpuno ista kao i dužina jedinice mernika koja miruje u odnosu prema sistemu , merena sa sistema . Da bismo videli, kako izgledaju tačke -ose posmatrane sa sistema , potrebno je da učinimo samo "trenutni snimak" sistema sa ; ovo znači da uzmemo za (vreme sistema ) određenu vrednost, na primer = 0. Za tu vrednost = 0 dobijamo iz prve od jednačina (10.5)

   Dve tačke -ose, koje merene u sistemu imaju rastojanje = 1, imaju, dakle, na našem trenutnom snimku rastojanje

(10.7)

   A ako načinimo trenutni snimak sa sistema ( = 0), to dobijamo iz jednačine (10.5), ako eliminišemo , s obzirom na jednačinu (10.6)

(10.8)

   Iz ovoga zaključujemo, da dve tačke -ose sa rastojanjem 1 (u odnosu prema ) imaju na našem trenutnom snimku rastojanje

(10.9)

   Kako prema gore rečenom moraju oba trenutna snimka da budu jednaka, to mora i u jednačini (10.7) biti jednako sa u jednačini (10.9), tako da dobijamo

(10.10)

   Jednačine (10.6) i (10.10) određuju konstante i . Smenom u jednačine (10.5) dobijamo prvu i četvrtu jednačinu koje su date u glavi 11.

(10.11)

   Time je izvedena Lorencova transformacija za događaje na -osi. Ona zadovoljava uslov

(10.12)

Proširenje ovog rezultata na događaje koji se vrše van -ose proizilazi ako, zadržavajući jednačinu (10.11), dodamo jednačine

(10.13)

   Da je time zadovoljen i postulat konstantnosti brzine svetlosti u vakuumu za proizvoljno upravljene svetlosne zrake kako za sistem , tako i za sistem , vidi se na sledeći način.
   U trenutku = 0 neka je od početne tačke sistema poslat svetlosni signal. Ovaj se signal rasprostire po jednačini

(10.14)

ili kvadrirajući, po jednačini

(10.15)

   Zakon o rasprostiranju svetlosti zahteva u vezi sa postulatom relativiteta, da se rasprostiranje istog signala - sudeći sa sistema - vrši po odgovarajućoj formuli

ili

(10.16)

   Da bi jednačina (10.16) bila posledica jednačine (10.15) mora da bude

(10.17)

   Kako za tačke na -osi mora vredeti jednačina (10.12), to mora biti = 1. Da Lorencova transformacija stvarno zadovoljava jednačinu (10.17) sa = 1, lako se uviđa, jer jednačina (10.17) je posledica jednačine (10.12) i (10.13), pa dakle i jednačine (10.11) i (10.13). Time je izvedena Lorencova transformacija.
   Matematički možemo uopštenu Lorencovu transformaciju ovako okarakterisati:
   Lorencova transformacija izražava , , i pomoću takvih linearnih homogenih funkcija od , , i da relacija

(10.18)

biva identično zadovoljena. To znači: ako se levo umesto i tako dalje, postave njihovi izrazi u funkciji od , , i onda se leva strana jednačine (10.18) potpuno slaže sa desnom stranom iste jednačine." Kraj citata.
   U cilju lakšeg razumevanja kasnijih osporavanja izvesnih tvrdnji datih u Teoriji relativnosti neophodno je ovde skrenuti pažnju na sledeće.
   Koordinate , , , , koje su u slučaju Lorencove transformacije koordinata date izrazima

(10.19)

ispunjavaju zahtev da relacija (10.18) biva identički zadovoljena.
   Ako izraze za i iz jednačine (10.19) rešimo po i dobijamo

(10.20)

   Transformisane koordinate date po i u zavisnosti od i takođe ispunjavaju zahtev da relacija (10.18) biva identički zadovoljena.
   Koordinate jednog sistema zavisne su od koordinata drugog sistema. Tu zavisnost možemo odrediti i na osnovu početnih uslova pod kojim je izvedena Lorencova transformacija koordinata, a koji su dati jednačinama (10.1) i (10.2). Prema tim jednačinama je i . Imajući to u vidu možemo pisati

(10.21)

ili

(10.22)

   Istim postupkom dobijamo

(10.23)

ili

(10.24)

   Iz jednačina (10.21) i (10.24) sledi

(10.25)