12. IZVOĐENJE TRANSFORMACIJA KOORDINATA NA OSNOVU ISPUNJENJA ZAHTEVA ZA INVARIJANTNOST
 
   Kao što je već ranije rečeno, kod Galilejeve transformacije koordinata održava se invarijantnost jednačina osnovnih zakona za mehanička kretanja u inercijalnim sistemima. Međutim, to nije slučaj za jednačine u oblasti elektromagnetizma pa se mora pribegavati novim transformacijama, koje se izvode iz uslova za invarijantnost određenih jednačina iz te oblasti. Neke od tih primera obradićemo u daljem tekstu.
   Prostiranje sfernog elektromagnetskog (ili zvučnog) talasa dato je u nekom sistemu sledećom jednačinom

(12.1)

   Ako pretpostavimo da se sistem kreće ravnomerno i translatorno u odnosu na tako da mu se -osa kreće duž -ose, a -osa ostaje praralena -osi i -osa paralelna -osi onda se dobijaju transformacione formule kao kod jednodimenzionalnog slučaja.
   Invarijantnost jednačine (12.1) o prostiranju elektromagnetskog sfernog talasa zahteva da se prostiranje tog talasa može prikazati istom takvom jednačinom i u sistemu , koja prema tome glasi

(12.2)

   Neka je transformaciona formula za koordinatu oblika

(12.3)

gde je koeficijent koji se određuje upoređivanjem.
   Za koordinate i su transformacione formule

(12.4)

   Neka je transformaciona formula za vreme oblika

(12.5)

gde su i koeficijenti, koji se takođe određuju upoređivanjem.
   Kada se izvrši smena izraza za , , i u jednačinu (12.2) dobijamo

ili

(12.6)

   Upoređivanjem koeficijenata uz , , i jednačine (12.1) i ove jednačine (12.6) dobijamo

(12.7)

i rešavanjem jednačina (12.7) dobijamo tražene koeficijente

(12.8)

   Zamenom ovih izraza u jednačine (12.3) i (12.5) dobijamo relativističke jednačine za koordinate i vreme koje je izveo Lorenc

(12.9)

  Dakle, dobijene su iste jednačine kao i kod Lorencove transformacije, ali na matematički korektniji način.
   Ovim nije isključena mogućnost izvođenja i drugih transformacija. Za potrebe daljeg razmatranja izvešćemo još samo dve transformacije za slučaj prostiranja sfernog talasa i dve transformacije za slučaj prostiranja ravanskog talasa. Za sferni talas koristićemo, kao i ranije, jednačine (12.1) i (12.2) i sledeće transformacione formule

(12.10)

Na isti način kao i u prethodnom slučaju, kod dobijanja jednačina (12.9), nalazimo izraze za koeficijente , i

(12.11)

tako da je

(12.12)

   Kao i u slučaju dobijanja relativističkih formula (11.1) i ovde dobijamo da je

(12.13)

   U jednačinama (12.12) i (12.13) nije ograničena brzina na brzinu , to jest dozvoljeno je da je .
   Petu transformaciju koordinata dobijamo na bazi zahteva za invarijantnost jednačine prostiranja ravanskog talasa tako da identično bude zadovoljena relacija

(12.14)

i transformacionih jednačina

(12.15)

   Koeficijente i određujemo upoređivanjem, kao i ranije, koristeći jednačinu (12.14), pa tako nalazimo da je

(12.16)

pa je

(12.17)

   I u ovim jednačinama brzina nema ograničenja i može biti .
   Jednačine (12.17) najjasnije opisuju prostiranje ravanskog svetlosnog (ili zvučnog) talasa u inercijalnim sistemima. U njima je "čista" dužina, to jest nema koeficijenta sa kojim se množi. Vremena su data jednostavnim formulama. Vreme je manje od vremena za koeficijent (), što je sa stanovišta prostiranja svetlosnih talasa fizički jasno, ukoliko se posmatra tok događaja na pravcu kretanja talasa. Na primer, ako bi se sistem kretao brzinom onda bi se njegov koordinatni početak stalno nalazio na istom svetlosnom talasu ( = 0). Tada bi u tom koordinatnom sistemu vreme prestalo da teče, jer prestaju bilo kakve promene elektromagnetske situacije. Iz pravca koordinatnog početka sistema ni jedna elektromagnetska pojava, na primer svetlosni impuls, ne uspeva da stigne taj talas i stalno ostaju na istom rastojanju od tog talasa, kao i one koje idu ispred talasa. U tim uslovima izlgeda kao da je sve stalo, bar što se tiče prostiranja elektromagnetskih talasa na pravcu kretanja istih.
   Ako je, na primer, onda je broj elektromagnetskih talasa koji prolaze kroz koordinatni početak sistema dva puta manji nego kad bi sistem mirovao u odnosu na sistem . Tako je dva puta manji broj događaja, pa izgleda kao da vreme dva puta sporije teče. Ovo može da ima dubokog smisla vezanog za vreme života neke pojave ili stvari.
   Uzmimo, na primer, da raketa poleće iz tačke brzinom prema tački radi uništenja nekog cilja. Neka je sistem na raketi podešen da aktivira eksploziv kada primi 20 radio impulsa sa zemlje, koji se otuda šalju svake sekunde. Pitanje je: "Koliko je vreme života rakete od njenog starta u tački , do eksplozije i njenog uništenja?" Sudeći po odbrojavanju impulsa moglo bi se zaključiti da je 20 sekundi, koliko je ukupno poslato impulsa i to svake sekunde po jedan impuls. No kako raketa beži brzinom , to će ona tih 20 impulsa primiti i aktivirati eksploziv na raketi tek posle 40 sekundi. Prema satu na raketi, koji sinhrono radi sa prijemnikom radio impulsa, to jest koji je podešen da odbrojava vreme na osnovu primljenih impulsa sa zemlje, vreme života rakete je 20 sekundi. Naravno, sat na raketi, koji bi nezavisno radio, pokazivao bi stvarno vreme života koje, kako smo rekli, iznosi 40 sekundi.
   Ako bi raketa letela u suprotnom smeru, od tačke ka tački , istom brzinom kao u prethodnom slučaju, onda bi stvarno vreme života rakete bilo 13,3 sekundi, a brojač - sinhroni sat na raketi bi opet pokazivao 20 sekundi.
   Druga jednačina (12.17) može da prikazuje i vreme prošlosti. Tako, ako je tada koordinatni sistem ide ispred svetlosnog talasa (kao nadzvučni avion ispred zvuka). Na svom putu on sustiže i pretiče talase, koji su ranije krenuli i odslikavaju prošlost. Tako bi, na primer, mogao stići zrake sunčeve svetlosti reflektovane od ratnika u Kosovskom boju pa bi posmatrač iz tog koordinatnog sistema video boj, ali obrnutim redom kao kod premotavanja filmske trake unazad. To je smisao negativnog vremena u jednačini (12.17).
   Sledeća šesta transformacija kooridnata izvedena je takođe korišćenjem jednačina prostiranja ravanskog talasa (12.14) i transformacionih formula

(12.18)

   Nakon određivanja koeficijenata i upoređivanjem, dobijamo

(12.19)

   Pored navedenih transformacija mogu se izvesti i druge slične.
   Lorenc je dao jednu transformaciju koordinata. Međutim, kao što je pokazano, postoji više transformacija sa kojima se postiže identično zadovoljenje relacije vezane za prostiranje sfernog svetlosnog talasa

ili relacije vezane za prostiranje ravanskog svetlosnog talasa

kada se levo umesto , , i postave njihovi izrazi u funkciji , , i .
   Taj zahtev za identično zadovoljenje naglasio je i sam Ajnštajn u ranije navedenom citatu "Prosto izvođenje Lorencove transformacije". Sve transformacije sa kojima se postiže invarijantnost jednačine rasprostiranja sfernog ili ravanskog talasa svetlosti su ravnopravne.
   Sa transformisanim koordinatama za slučaj sfernog talasa ne postiže se identično zadovoljenje relacije vezane za rasprostiranje ravanskog talasa. Takođe se sa transformisanim koordinatama za slučaj ravanskog talasa ne postiže identično zadovoljenje relacije

vezane za rasprostiranje sfernog talasa.
   Sferni talas se javlja u slučaju tačkastog izvora zračenja, a ravanski kod kolimiranog (usmerenog - sa paralelnim zracima) zračenja. Majkelson - Morlijev eksperiment i Fizoov opit su izvedeni sa ravanskim talasima. Sva interferometrijska merenja se takođe vrše sa ravanskim talasima, jer je za takva merenja neophodno kolimirano zračenje.
   Na kraju, pre nego što razmotrimo osnovne karakteristike izvedenih transformacija navodimo ih zajedno radi lakšeg upoređenja.
   a) Lorencova transformacija

(12.20)

   b) Nova transformacija u daljem tekstu transformacija br. 1

(12.21)

   c) Nova transformacija u daljem tekstu transformacija br. 2

(12.22)

   d) Nova transformacija u daljem tekstu transformacija br. 3

(12.23)

   e) Nova transformacija u daljem tekstu transformacija br. 4

(12.24)

   f) Nova transformacija u daljem tekstu transformacija br. 5

(12.25)

   Lorencova transformacija i transformacija br. 1, koja je izvedena iz Lorencove transformacije, isključuju mogućnost da brzina koordinatnog sistema bude veća od brzine svetlosti, a sve ostale transformacije dozvoljavaju tu mogućost.
   Transformacija br. 2 sadrži jedan paradoks, koji se sastoji u tome da koordinatni sistem i pri brzini znatno većoj od brzine svetlosti ostaje unutar sfere, koju obrazuje svetlosni talas, koji se iz koordinatnog početka sistema širi brzinom svetlosti. To znači, na primer, da se u pozitivnom smeru -ose kreće svetlosni talas brzinom svetlosti, a da za njim ide koordinatni početak sistema daleko većom brzinom od brzine svetlosti, ali i pored toga on ne uspeva da stigne taj svetlosni talas. Tako koordinatni početak sistema ne može da izađe iz sfere sfernog talasa ma kako veliku brzinu imao.
   Transformacija br. 3 sadrži drugi paradoks. Koordinatni sistem može da izađe iz sfere, koju obrazuje sferni svetlosni talas, ako se kreće u negativnom smeru -ose i većom brzinom od brzine svetlosti, što mu je dopušteno. Naravno, pri tome se posmatrani svetlosni talas kreće u pozitivnom smeru -ose. Kada je koordinatni početak sistema je izašao iz sfere, ali natraške.
   Drugi paradoks je da je relativna brzina između talasa svetlosti i koordinatnog početka sistema , koji se kreću u suprotnim smerovima, jednaka brzini svetlosti i pri neograničeno velikoj brzini sistema , to jest