21. UTICAJ KRETANJA IZVORA ZRAČENJA I PRIJEMNIKA NA FREKVENCIJU SVETLOSTI ILI ZVUKA (DOPLEROV EFEKAT)
 
21.1 Klasičan način određivanja Doplerovog efekta
 
   Iz klasične fizike dobro je poznata pojava Doplerovog efekta. Naime, Dopler je 1842. godine otkrio da na frekvenciju akustičnog ili svetlosnog zračenja ima uticaj kretanje izvora zračenja, a na frekvenciju koju registruje odgovarajući prijemnik ima uticaj kako kretanje izvora zračenja tako i kretanje prijemnika zračenja.
   Pri približavanju izvora zračenja povećava se frekvencija zračenja, a pri udaljavanju ta se frekvencija smanjuje. Dakle, frekvencija zračenja se povećava u smeru kretanja izvora, a smanjuje u suprotnom smeru.
   Ako se sa označi frekvencija u odnosu na sistem za koji je vezan izvor, to jest frekvencija izvora, a sa frekvencija koju prima prijemnik onda je

(21.1)

kada se izvor udaljava od prijemnika i

(21.2)

kada se izvor približava prijemniku.
   Za slučaj kretanja prijemnika je

(21.3)

kada se prijemnik udaljava od izvora i

(21.4)

kada se prijemnik približava izvoru.
   U prethodnim jednačinama je brzina izvora, je brzina prijemnika i je brzina zvuka.
   Navedene jednačine važe kada je kretanje duž prave "izvor zračenja - prijemnik". Kada je kretanje pod nekim uglom u odnosu na tu pravu onda se u izrazu uzima . Tako se umesto jednačina (21.1) i (21.2) kao i (21.3) i (21.4) dobija

(21.5)

za slučaj kada se izvor kreće i

(21.6)

kada se prijemnik kreće.
   U slučaju kada se, u odnosu na sredinu, prijemnik i izvor kreću u istom smeru dobijamo da je

(21.7)

   Kada je tada je i . Međutim, promena frekvencije ne zavisi od razlike brzina već uopšte od i u odnosu na sredinu.
   Napred izneto je kratak rezime kako klasična fizika, zasnovana na iskustvu i svakodnevnim merenjima, na primer u oblasti radarske tehnike, tretira Doplerov efekat, odnosno Doplerov pomeraj frekvencije.
 
21.2 Relativistički način određivanja Doplerovog efekta
 
   Teorija relativnosti ima drugi pristup i druge formule za izračunavanje Doplerovog efekta. Kod nje se pored podužnog javlja i poprečni Doplerov efekat, koji klasična fizika ne prihvata.
 
21.2.1 Određivanje Doplerovog efekta korišćenjem jednačina Lorencove transformacije
 
   Teorija relativnosti dolazi do Doplerovog efekta pomoću jednačina Lorencove transformacije. Pri tome se polazi od toga da je intenzitet ravanskog svetlosnog talasa, koji se prostire u vakuumu u sistemu proporcionalan

(21.8)

a intenzitet tog istog talasa u sistemu je proporcionalan

(21.9)

gde su , , , , i kosinusi orijentacije talasnih normala (u odnosu na odgovarajući koordinatni sistem).
   Po Teoriji relativnosti izraz (21.8) je invarijantan pa je

(21.10)

   Korišćenjem prve i četvrte jednačine Lorencove transformacije u prvom izrazu jednačine (21.10) dobijamo

(21.11)

   Upoređivanjem koeficijenata uz u jednačinama (21.10) i (21.11) dobijamo sledeću relaciju

(21.12)

   Po navedenom postupku se u Teoriji relativnosti dolazi do jednačine (21.12) za izračunavanje Doplerovog efekta. U vezi te jednačine Ajnštajn kaže:
   Citat: "Pojasnimo formulu za za dve različite mogućnosti: kada se kreće posmatrač, a beskonačno udaljen izvor miruje i suprotno, kada posmatrač miruje, a izvor se kreće.
   a) Ako se posmatrač kreće brzinom u odnosu na beskonačno udaljen izvor svetlosti učestanosti , tako što prava "izvor svetlosti - posmatrač" obrazuje ugao sa brzinom posmatrača u odnosu na sistem koordinata, koji miruje u odnosu na izvor svetlosti, to će učestanost svetlosti, koju prima posmatrač, biti data izrazom

(21.13)

   b) Ako se izvor koji zrači svetlost učestanosti , u sistemu koji se kreće zajedno sa njim, kreće tako što prava "izvor svetlosti - posmatrač" obrazuje ugao sa brzinom izvora svetlosti u odnosu na sistem, koji miruje u odnosu na posmatrača, to će učestanost koju prima posmatrač biti data izrazom

(21.14)

Oba ta odnosa izražavaju princip Doplera u opštoj formi." Kraj citata. [5]
   Jednačina (21.14), koju je Ajnštajn dao za slučaj kretanja izvora zračenja, ne može se korektno izvesti ni relativističkim niti klasičnim postupkom. Kao takva ona nije ni relativistička niti klasična. Relativistička jednačina za Doplerov efekat za slučaj kretanja izvora, koja se izvodi relativističkim postupkom kao i jednačina (21.14), neupotrebljiva je, jer daje rezultat koji je suprotan dobro poznatoj stvarnosti. U cilju dokaza ove tvrdnje izvedimo relativističku jednačinu Doplerovog efekta za slučaj kretanja izvora zračenja.
   Kod izvođenja ove jednačine koristićemo isti princip i postupak kao i kod izvođenja jednačine (21.12), odnosno (21.13), za slučaj kretanja prijemnika. Kod tog izvođenja izvor zračenja je mirovao u nepokretnom sistemu , a prijemnik u pokretnom sistemu . Tako se prijemnik kretao u odnosu na sistem , a time i u odnosu na izvor zračenja, zajedno sa sistemom . Pod tim uslovima primenjena je Lorencova transformacija na jednačinu (21.10), tako što su koordinate sistema transformisane na sistem , iz kojeg je vršeno posmatranje, to jest prijem zračenja.
   U slučaju kretanja izvora zračenja u odnosu na prijemnik, koji miruje, izvor treba da je vezan za pokretni sistem , a prijemnik za nepokretni sistem . Tako će se izvor zajedno sa sistemom kretati u odnosu na sistem i prijemnik koji miruje u tom sistemu. Pošto je u ovom slučaju posmatrač u sistemu to se transformacija koordinata vrše u odnosu na taj sistem, pa jednačinu (21.10) treba pisati u sledećem obliku

   Uzimajući da je i konačno se dobija

(21.15)

   Iz ove izvedene relativističke jednačine (21.15), kao i iz jednačine (21.14), proizilazi da frekvencija zračenja, koju prima posmatrač, raste kad se izvor zračenja udaljava, a opada kad se izvor zračenja približava posmatraču. Međutim, dobro je poznato da se u stvarnosti događa suprotno. Jednačina (21.14) liči na relativističku, ali nema relativističko poreklo, pa zbog toga i nije relativistička.
   Iz ovog primera se već vidi da je relativistički način određivanja Doplerovog efekta neodrživ. No i pored toga interesantno je pokazati i druge neosnovanosti i nemoći relativističkog načina određivanja Doplerovog efekta.
   U slučaju kretanja prijemnika i kada je to kretanje duž prave "izvor svetlosti - prijemnik" tada je = 0 i = 1 pa je prema jednačini (21.13)

(21.16)

a za slučaj kretanja izvora prema jednačini (21.14) je

(21.17)

   Jednačine (21.16) i (21.17) izražavaju podužni Doplerov efekat.
   Ako je kretanje normalno na pravu "izvor svetlosti - prijemnik" tada je = 90° i = 0, pa je

(21.18)

za slučaj kretanja prijemnika i

(21.19)

za slučaj kretanja izvora.
   Jednačine (21.18) i (21.19) izražavaju poprečni Doplerov efekat.
   Tako su korišćenjem jednačina Lorencove transformacije, koja je izvedena za slučaj kretanja sfernih svetlosnih talasa, dobijene jednačine za Doplerov pomeraj kod ravanskih svetlosnih talasa. Već je rečeno ranije da se sa Lorencovom transformacijom ne postiže identično zadovoljenje zahteva za invarijantnost izraza za prostiranje ravanskih svetlosnih talasa. Tu identičnost je sam Ajnštajn zahtevao, a što se može videti u glavi 10 iz citiranog teksta "Prosto izvođenje Lorencove transformacije".
   Zašto je Ajnštajn, kod izvođenja jednačina za Doplerov efekat, uzeo ravanski talas, a ne sferni? Verovatno zbog toga što se izvođenje tih jednačina ne može ostvariti korišćenjem jednačine za rasprostiranje sfernog svetlosnog talasa. Jedan od razloga može biti i taj da bi izbegao očiglednost neosnovanosti postojanja poprečnog Doplerovog efekta. Da je tvrđenje o postojanju transverzalnog Doplerovog efekta bez osnova može se videti i iz sledećeg razmatranja.
   Uzmimo slučaj sa slike 21.1 gde je: izvor sfernih svetlosnih talasa, koji miruje i prijemnik koji se kreće duž prave . Pri kretanju iz tačke ka tački prijemnik se približava izvoru () sve do tačke , pa je frekvencija, koju prijemnik prima na tom delu puta, veća od frekvencije izvora. U toku daljeg kretanja od tačke ka tački prijemnik se udaljava od izvora pa je frekvencija koju prima manja od frekvencije izvora. Prelaz od veće frekvencije na manju frekvenciju, od frekvencije koju zrači izvor, mora biti preko iste frekvencije koju zrači izvor. Drugim rečima, jednostavno rečeno, na putu od plus do minus mora se preći preko nule. Taj prelaz od veće na manju frekvenciju nastaje u tački , a to znači da u tački nema pomeraja frekvencije, to jest nema transverzalnog Doplerovog efekta datog jednačinom (21.18), a takođe i jednačinom (21.19), jer isto važi i za kretanje izvora zračenja.

Slika 21.1

   Relativističke jednačine za Doplerov efekat izvedene su za slučaj rasprostiranja ravanskih talasa, iz čega, samo po sebi, proizilazi da se one ne mogu koristiti za slučaj rasprostiranja sfernih talasa. Međutim, na ravanske talase primenjena je Lorencova transformacija koordinata, koja ne zadovoljava traženi zahtev za invarijantnost jednačine za rasprostiranje ravanskog talasa. Sudeći po tome, proizilazi da se relativističke jednačine za Doplerov efekat ne mogu primeniti ni kod rasprostiranja ravanskih talasa.
   Relativističke jednačine za izračunavanje podužnog Doplerovog efekta, koji jedino i postoji, mogu se koristiti samo kada je brzina kretanja mala u poređenju sa brzinom svetlosti, a što se svodi na klasične jednačine, čiji oblik je jednostavniji i lakši za primenu. Za veće brzine, koje se približavaju brzini svetlosti, i za koje su i namenjene, relativističke jednačine su neupotrebljive, jer su greške određivanja Doplerovog efekta nedopustivo velike. Dokaz za ovo je jednostavan i lako se može izvesti na sledeći način.
   Na slici 21.2 dat je šematski prikaz, jednog od mogućih, rasporeda uređaja za izvođenje dokaza gde je: u tački radio predajnik, koji može emitovati radio impulse sa frekvencijom ponavljanja impulsa od 100 MHz; u tački , na rastojanju od 0,27 km prvi radio prijemnik; u tački , na istom pravcu i rastojanju od 0,3 km, drugi radio prijemnik i u tački startni uređaj, koji je sa napred navedenim radio uređajima povezan kablovima iste dužine i električnih karakteristika, tako da je pomoću njega moguće jednovremeno uključenje i isključenje sva tri radio uređaja.

Slika 21.2

   Prostorni raspored radio impulsa posle = 10^-6 s od početka emitovanja je kao na slici 21.3

Slika 21.3

   Radio impuls, emitovan iz tačke , preći će rastojanje = 0,3 km i stići će u tačku za vreme = 10^-6 s. Ako se pomoću startnog uređaja jednovremeno uključe u rad sva tri radio uređaja u trajanju od = 10^-6 s, onda će za to vreme radio predajnik, iz tačke , emitovati 100 radio impulsa, a prvi radio impuls stići će do radio prijemnika u tačku . Pored radio prijemnika u tački , proći će 10 impusla, koje će taj prijemnik registrovati. Preostalih 90 impulsa biće na putu od tačke do tačke .
   Pretpostavimo da je prvi radio prijemnik iz tačke bio, u trenutku uključenja svih radio uređaja, kod radio predajnika u tački i da se od tog trenutka kretao brzinom ka tački (kao i koordinatni sistem , čija je brzina kretanja ). Posle vremena od 10^-6 s od trenutka uključenja on će stići u tačku . Na tom putu od tačke do tačke pokraj njega će proći, u pravcu tačke , 10 radio impulsa brzinom . Te impulse će prvi prijemnik registrovati u pokretu. Ostalih 90 impulsa nalaziće se u kretanju od predajnika ka prvom prijemniku u tački , a što je i šematski prikazano na slici 21.3. Da je prvi prijemnik ostao u tački on bi registrovao svih 100 impulsa. Pošto se udaljavao od izvora zračenja brzinom registrovao je svega 10 impulsa što je u saglasnosti sa klasičnom jednačinom za Doplerov efekat

   Po relativističkoj jednačini (21.13) ta frekvencija, zbog uticaja Doplerovog efekta, treba da bude

iz čega proizilazi da je prvi radio prijemnik, na putu iz tačke do tačke , trebao da registruje 23 umesto 10 radio impulsa. To opet znači da između tačke i tačke , posle vremena od 10^-6 s od uključenja, treba da bude prostorno raspoređeno 23 umesto 10 impulsa, što svakako nije niti može biti tako.
   Iz navedenog primera vidimo da je pri udaljavanju prijemnika od izvora zračenja brzinom , greška određivanja frekvencije po relativističkoj formuli čak 130%. Sa povećanjem brzine povećava se i greška. Tako velike greške su svakako neprihvatljive, kao i relativistički način određivanja frekvencije Doplerovog pomeraja.
   Takođe su neprihvatljive i relativističke formule za energiju elektromagnetskih talasa, čiji oblik bazira na relativističkim formulama za frekvenciju. Takvu jednačinu (23.48) Ajnštajn, na primer, koristi kod izvođenja jednačine za kinetičku energiju.
   Ranije je već rečeno da su sve transformacije koordinata ravnopravne, ukoliko se sa njima postiže identično zadovoljenje zahteva za invarijantnost. Stoga razmotrimo šta će se dobiti, ako se umesto jednačina Lorencove transformacije primene jednačine transformacije br. 2, br. 4 i br. 5. Posebno je interesantna primena jednačina transformacija br. 4 i br. 5, jer su one izvedene za ravanski talas, koji se u Teoriji relativnosti koristi za izvođenje Doplerovog efekta. Sa izvedenim jednačinama te dve transformacije postiže se identično zadovoljenje zahteva za invarijantnost jednačine za prostiranje ravanskog talasa. Sudeći po tome, trebalo bi da, kod primene jednačina tih transformacija, dobijeni rezultati Doplerovog efekta najrealnije pokazuju vrednost i održivost relativističkog načina određivanja tog efekta.
 
21.2.2 Određivanje Doplerovog efekta korišćenjem jednačina transformacije br.2
 
   Smenom izraza za i iz jednačine (12.22) u jednačinu (21.10) i upoređenjem koeficijenata uz iz tako dobijenog izraza i izraza (21.10), na isti način kao u prethodnom slučaju, dobijamo da je za slučaj kretanja prijemnika

(21.20)

i za slučaj kretanja izvora

(21.21)

   Jednačine (21.20) i (21.21), koje su izvedene korišćenjem jednačina transformacije br. 2, izražavaju Doplerov efekat u opštem obliku. Kao što se vidi one se znatno razlikuju od jednačina (21.13) i (21.14) iz prethodnog slučaja, to jest od odgovarajućih jednačina dobijenih korišćenjem jednačina Lorencove transformacije.
   U slučaju kretanja duž linije "izvor zračenja - prijemnik" je = 0 i = 1 pa je

(21.22)

kod kretanja prijemnika i

(21.23)

kod kretanja izvora.
   Jednačine (21.22) i (21.23) izražavaju podužni Doplerov efekat.
   Kada je = 90°, to jest kada je kretanje normalno na pravac "izvor zračenja - prijemnik" navodno dolazi do transverzalnog Doplerovog efekta. Tada je = 0 pa za slučaj kretanja prijemnika jednačina (21.20) dobija oblik

(21.24)

i za slučaj kretanja izvora jednačina (21.21) dobija oblik

(21.25)

   Jednačinama (21.24) i (21.25) izražava se poprečni Doplerov efekat.
   Dakle, i kod korišćenja jednačina transformacije br. 2, za iznalaženje Doplerovog efekta prema Teoriji relativnosti, javlja se kako podužni tako i poprečni Doplerov efekat. Međutim, oni se razlikuju kako po obliku jednačina tako i po veličini od prethodnog slučlaja, to jest slučaja gde su korišćene jednačine Lorencove transformacije.
 
21.2.3 Određivanje Doplerovog efekta korišćenjem jednačina transformacije br.4
 
   Smenom transformacionih jednačina za i iz (12.24) u jednačinu (21.10) dobijamo

(21.26)

   Upoređenjem koeficijenata uz iz jednačine (21.26) i jednačine (21.10) dobijamo za slučaj kretanja prijemnika

odnosno

(21.27)

a za slučaj kretanja izvora

(21.28)

   Ako je kretanje prijemnika ili izvora duž prave "izvor zračenja - prijemnik" tada je = 0 i = 1, pa iz jednačine (21.27) dobijamo da je , a iz jednačine (21.28) dobijamo . Iz ovog proizilazi da nema podužnog Doplerovog efekta i to kako kod kretanja prijemnika tako i kod kretanja izvora, što je u suprotnosti sa dobro poznatom realnošću.
   Međutim, kada je kretanje normalno na pravac "izvor zračenja - prijemnik", to jest pri = 90° i = 0, tada je za slučaj kretanja prijemnika

(21.29)

a za slučaj kretanja izvora

(21.30)

   Jednačine (21.29) i (21.30) izražavaju poprečni Doplerov efekat.
   Dakle, za slučaj primene transformacija br. 4 u relativističkom postupku određivanja Doplerovog efekta, kao rezultat dobijamo da nema podužnog već da postoji samo poprečni Doplerov efekat, a to je, kao što znamo, suprotno od onog što je čovek eksperimentom davno utvrdio i decenijama u svakodnevnoj praksi potvrđivao.
 
21.2.4 Određivanje Doplerovog efekta korišćenjem jednačina transformacije br.5
 
   Smenom izraza za i iz sistema jednačina (12.25) u jednačinu (21.10) i upoređivanjem koeficijenata uz iz tako dobijenog izraza i odgovarajućeg izraza u (21.10) dobijamo za slučaj kretanja prijemnika da je

(21.31)

a za slučaj kretanja izvora

(21.32)